PHYS6810D / 第 9 章
对称性、守恒流与群论
从 Noether 定理构造连续对称性的守恒流和能动张量，推广到路径积分运动方程、接触项与 Ward–Takahashi 恒等式；再讨论离散与内部对称、O(N)/U(N) 群、生成元、李代数和 Jacobi 恒等式，并收录相关公式更正。
9.1 从作用量变分到 Noether 定理
From Variations to Noether’s Theorem
推导 δL、δS/δφ 的关系与全导数项；把对称性定义为 δL=∂μKμ，并构造 Noether 流 jμ，得到在经典运动方程成立时 ∂μjμ=0。
讲义 PDF 页 98, 99 · Srednicki §22 · 6:55
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9.2 守恒流的意义：对称性导出守恒量
Conserved Currents and the Meaning of Noether’s Theorem
解释连续性方程中密度与流的含义，并从时间平移、空间平移及内部旋转对称性说明能量、动量和电荷守恒的来源。
讲义 PDF 页 99 · Srednicki §22 · 5:03
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9.3 复标量场的 U(1) 荷与粒子数差
The U(1) Charge of a Complex Scalar Field
对复标量场 φ→e^(−iα)φ 求 Noether 流和荷；量子化后 Q=N_a−N_b，说明粒子与反粒子带相反电荷且总荷守恒。
讲义 PDF 页 99, 100, 101 · Srednicki §22 · 8:29
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9.4 时空平移的 Noether 流与能动张量
Spacetime Translations and the Energy-Momentum Tensor
从 φ_a(x)→φ_a(x−a) 推导平移 Noether 流及能动张量 T^{μν}，并以一般标量场拉格朗日量写出 T^{μν} 的形式。完成了从平移对称性到应力能量张量的构造。
讲义 PDF 页 101 · Srednicki §22 · 5:48
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9.5 能动张量分量、动量流与洛伦兹荷
Energy, Momentum, and Lorentz Charges
计算 T^{00} 得到标量场能量密度，计算 T^{0j} 并辨认四动量；随后推导时空转动的角动量/boost 流与荷，联系洛伦兹群生成元和 Noether 守恒量。
讲义 PDF 页 13, 14, 102 · Srednicki §2, 22 · 4:56
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9.6 路径积分对称性与无插入的量子运动方程
Path-Integral Symmetry and the No-Insertion Quantum Equation
在路径积分测度不变的假设下变分 Z[J]，分析 J=0 且不插入额外算符的情形，得到运动方程在时间序关联函数中的期望值关系；指出加入算符插入后会出现新的项。
讲义 PDF 页 102, 103 · Srednicki §22 · 5:26
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9.7 算符插入、接触项与 Schwinger–Dyson 方程
Operator Insertions and the Schwinger–Dyson Equation
对源 J 求泛函导数并插入场算符，推导因导数作用于 J 而出现的 δ 函数接触项，得到 Schwinger–Dyson 方程及其对 Euler–Lagrange 方程的量子推广。
讲义 PDF 页 103, 104 · Srednicki §22 · 4:34
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9.8 Ward–Takahashi 恒等式与接触项的物理意义
Ward–Takahashi identity and contact terms
由 Schwinger–Dyson 方程推导连续对称性的 Ward–Takahashi 恒等式，解释算符位置重合时的 δ 函数接触项，并总结能量、动量、电荷及洛伦兹对称性对应的守恒律。
讲义 PDF 页 103, 104 · Srednicki §22 · 4:05
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9.9 量子有效作用量：从连通图到量子方程
The Quantum Effective Action and Symmetry as a Guiding Principle
回顾量子有效作用量与经典作用量的关系，说明圈图带来的量子效应、n 点顶角和重整化分类，并以勒让德变换联系 W[J] 与 Γ[φ]。
讲义 PDF 页 94, 95, 96, 97 · Srednicki §21 · 7:03
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9.10 连续对称、Noether 定理与 Ward–Takahashi 恒等式
Noether’s Theorem, Conserved Currents, and Ward–Takahashi Identities
回顾作用量不变如何给出守恒流，并说明插入算符时的接触项如何形成 Ward–Takahashi 恒等式；以算符乘积展开和课程后续安排收束。
讲义 PDF 页 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104 · Srednicki §22 · 4:53
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9.11 P、T 对称与时间反演的反幺正性
Parity, Time Reversal, and Antiunitarity
定义宇称和时间反演对标量、赝标量的作用，说明对称拉氏量如何约束场的选择；通过哈密顿量正能量论证时间反演必须令 i→−i，因而是反幺正变换。
讲义 PDF 页 105, 106 · Srednicki §23 · 8:29
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9.12 内部离散对称、荷共轭与 O(2)
Internal Discrete Symmetry, Charge Conjugation, and O(2)
讨论 Z₂ 对称对 φ³ 项和真空期望值的约束，再说明复标量场的荷共轭如何交换粒子与反粒子，并把 U(1)=SO(2) 扩展为 O(2)。
讲义 PDF 页 106, 107, 108 · Srednicki §23, 24 · 5:43
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9.13 O(N) 标量理论与无穷小旋转
O(N) Symmetry and Infinitesimal Rotations
将复标量 U(1) 理论推广为 N 个实标量的 O(N) 模型，区分 SO(N) 连续旋转与各分量的 Z₂ 变号，并推导无穷小旋转参数的反对称性。
讲义 PDF 页 108, 109 · Srednicki §24 · 5:47
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9.14 非阿贝尔旋转与群生成元计数
Non-Abelian Rotations, Counting, and Generators
用 SO(3) 中先后旋转次序不同的几何例子解释非阿贝尔性，推导 SO(N) 独立参数数目，并引入群生成元及其规范化。
讲义 PDF 页 109, 110 · Srednicki §24 · 7:34
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9.15 李代数与结构常数
Lie Algebra and Structure Constants
由生成元对易关系定义李代数的结构常数，说明其反对称性与实性，并推出结构常数满足的 Jacobi 恒等式；以 SO(3) 的 Levi-Civita 结构常数为例。
讲义 PDF 页 110, 111 · Srednicki §24 · 4:29
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9.16 U(N) 复标量模型与隐藏 SO(2N) 对称性
U(N), SU(N), and a Hidden SO(2N) Symmetry
把 O(N) 的实标量模型推广为 N 个复标量，分解 U(N)=U(1)×SU(N)，再将复场拆为 2N 个实场，揭示该模型额外具有 SO(2N) 隐藏对称性，并指出 SU(N) 在规范理论中的重要性。
讲义 PDF 页 111, 112 · Srednicki §24 · 4:50
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9.17 Jacobi 恒等式的指标与公式更正
Jacobi Identity: Index Summation and Formula Correction
课间问答从场变换和重复指标求和切入，发现板书 Jacobi 恒等式的自由指标不一致；老师随后明确承认抄录公式有误，解释张量等式各项必须具有相同自由指标，并给出尚未完全核验的更正式子。原话中的不确定性保留，不从 ASR 猜造公式。
讲义 PDF 页 110, 111 · Srednicki §24 · 2:18